교육연구와 통계방법(7) - 가설검증의 관점(불편파성, 구간추정, 표본크기)

1. 불편파 추정치와 자유도

좋은 추정치란?

-불편파성(unbiasedness)

추정치의 기대값이 모수치와 동일한 경우

기대값이란? 발생확률을 가중치로 한 가중평균

-효율성(effectiveness)

표준오차가 최대한 작아야

-일관성(consistency)

표본의 크기가 커질수록 표준오차가 작아지는 경향

 

 

자유도 (degree of freedom; df, ν)

• 통계적 추정을 할 때 표본자료 중 모집단에 대한 정보를 주는 독립적인 자료의 수

 

• 표본 평균의 자유도는
  → n
• 표본 분산의 자유도는
  → (n - 1)

 

• 편차의 합이 ‘0’을 충족시키고, 즉 평균을 유지하면서 자유롭게 어떤 값을 가질 수 있는 사례 수
• 모집단의 평균을 알지 못하여 표본평균을 사용하여 분산을 구해야 하기 때문에, 표본분산은 표본평균의 값에 의하여 제한을 받으므로

 

2. 점추정과 구간추정

🔹 점추정 (point estimation)

• 모집단의 특성(모수치)을 단일한 값으로 추정하는 방법
• 예시: 모집단의 평균과 분산을 표본평균과 표본분산으로 각각 추정

 

🔹 구간추정 (interval estimation)

• 표집오차로 인하여 표본의 통계치는 모집단의 모수치와 동일하지 않은 경우가 대다수
• 따라서 표집오차를 고려했을 때, 모집단의 모수치가 존재할 것으로 기대되는 점수구간을 설정하는 것이 더 나을 수도
• → 신뢰구간

 

□ 신뢰구간 (confidence interval)

• 모수치가 어떤 확률(95%)에서 포함되리라고 기대되는 추정치의 구간
• 일정한 사례수 N을 가진 표집을 무한번 반복추출하여
  표본 통계치(표본 평균)를 중심으로 신뢰구간을 설정했을 때,
  이 중 **95% (혹은 99%)**가 모집단의 모수치를 포함

2. 점추정과 구간추정

□ 신뢰구간 (confidence interval)

🔹 신뢰구간을 통한 가설검증

• 양방검증을 통해 유의수준 α에서 영가설을 기각하기 위해서는
  모수치가 100(1−α)% 신뢰구간 밖에 있어야 함

 

🔹 단순 가설검정보다 더 많은 정보 제공

• 신뢰구간이 영가설에서 부여한 모수치에서 얼마나 떨어져있는지
• 신뢰구간의 범위/넓이 ⇒ 표준오차의 크기
• 신뢰구간 해당 범위 ⇒ 영가설을 수용해야 하는 모수치 범위

 

효과크기 (effect size)

🔹 Cohen’s d

• 두 집단의 모집단 평균의 차이를 표준편차로 나누어줌으로써 표준화한 값
• 혹은 영가설과 대립가설 간 모수치의 차이를 표준화한 값

 

🔹 판단기준:

• d≥0.2 → small
• d≥0.5 → medium
• d≥0.8 → large

 

출처: Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). New York: Academic Press.

 

▣ 통계적 검증력의 일반적 기대수준

• 0.8 이상 (Cohen, 1988)

 

□ 통계적 검증력에 영향을 미치는 요인들

• 효과크기
• 제1종 오류
• 표본크기 ⇒ 표준오차에 영향
• 분산의 크기 ⇒ 표준오차에 영향
• 일방검증 및 양방검증

 

평균의 대립가설, 영가설이 떨어져있을수록 통계검증력이 더 높다. 1종오류가 더 크면 임계치가 높아져서 통계적 검증력이 작아짐. 표준오차가 작으면 더 뽀족해진 그래프로 바뀌어서 더 통계적 검증력이 커짐. 표본의 크기를 크면 표준오차가 작아짐. 일방/양방검증의 차이는 일방검증은 더 안쪽으로 임계치가 있어서 통계적 검증력이 커짐. 디폴트 : 양방검증(SPSS).

 

표본의 크기 결정

효과크기, 1종오류, 통계적 검증력(0.80이상)

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서울대학교 교육통계 강의 자료. 사범대학교 교육학과 박현정교수