교육연구과 통계검증(8)- t검증

1. 평균에 대한 표집분포 : Z분포와 t분포

□ 평균에 대한 표집분포

• 모집단의 분산을 알고 있는 경우, 정규분포로 분포
• 모집단의 분산을 모르는 경우,

□ t분포

• ■ W. Gosset (1908)
• (정규분포에서 표본을 추출하여 표집분포를 구하되)
  모집단의 표준편차를 알지 못하여, 표본의 표준편차로 모집단의 표준편차를 추정하여 사용하는 경우,
• ■ 표본의 크기(N) 혹은 자유도(df = N-1) 가 작을수록

 

T 분포의 특징

-평균이 '0'인 좌우대칭 분포

-표준편차가 표준정규분포보다 큰 분포

• 자유도가 무한대이면 표준정규분포와 거의 동일
• 자유도가 30이상이면 표준 정규분포에 근사

 

◼ z검증과 t검증

▪ 모집단의 분산을 알고 있는지 여부에 따라 결정

▫ 모집단의 분산을 알고 있는 경우 ⇒ z검증

▫ 모집단의 분산을 모르기 때문에 표본 분산을 추정치로 사용하는 경우 ⇒ t검증

◼ 집단간 평균 차이의 검증

▪ 집단이 한 개인 경우: 평균이 특정 수치인지 검증

▪ 집단이 두 개인 경우: 종속표본, 독립표본으로 구분

▪ 집단이 세 개 이상인 경우: 분산분석 사용

 

◻ t검증을 위한 기본 가정

◼ 종속변수가 양적 변수이어야

◼ 모집단의 분산, 표준편차를 알지 못하는 경우 적용

◼ 정규성 가정

◼ 등분산 가정 (두 독립표본 t검증의 경우)

 

 

◻ 단일표본 t검증

◼ H₀: μ = μ₀

◼ 모집단의 분산을 알지 못하면서, 모집단의 평균이 (연구자가 이론적 배경이나 경험적 배경에 의하여 설정한) 특정한 수치와 동일한지 여부를 검증

◼ 예시:

▫ 독서에 대한 즐거움을 50점 만점의 척도로 조사한 후, 모집단에서 학생들의 평균 응답이 60% 수준인 30점인지 여부를 가설 검증

▫ 혹은 국어에 대한 효능감을 5개 값을 가진 Likert 척도로 조사한 후, 모집단에서의 학생 응답 평균이 3점인지 여부를 가설 검증

 

◻ 가설검증 절차

① 영가설과 대립가설 진술

(필요한 경우 유의수준 결정)

H₀ : μ = 30, Hₐ : μ ≠ 30, (α = .05)

② 표본 데이터에 대하여 평균, 표준편차 계산

Ȳ = 30.651, Sᵧ = 6.370, N = 192

③ 표준오차 계산 및 표집분포 상정

σᵧ̄ = Sᵧ / √N = 6.370 / √192 = 0.460

Ȳ ~ t (μ, σᵧ̄)₍df = N-1₎, Ȳ ~ t (30, 0.460)₍df = 191₎

④ t 통계값 계산

t = (Ȳ - μ₀) / σᵧ̄ = (30.651 - 30) / 0.460 = 1.416

⑤ 기각역 또는 p값 확인 통해 결론 도출

◻ 두 종속표본 t검증

– 각기 다른 두 모집단의 속성인 모집단 평균을 비교하기 위하여 두 모집단으로부터 “서로 종속적인 관계에 있는 표본”들을 추출하여 표본의 평균 비교

◼ 서로 종속관계에 있는 표본

– 두 표본의 표본 점수분포가 상호 영향을 주고받는다는 점에서 “종속” 표본

– 동일 피험자를 반복측정(repeated measures)하거나, 비슷한 속성을 가진 피험자를 짝을 지어 표집(matched pair)하는 경우

독립표본t.xlsx

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유의수준 .05

유의수준 .01

 

◻ 두 종속표본 t검증

◼ 실제로는 두 모집단의 평균 비교가 아니라 짝지어진 두 자료의 차이점수에 대한 검증으로 간주

• H0​:μD​=0
• 따라서 실질적인 자료의 크기는 2N이나, 표본의 크기는 N으로 간주

두 독립표본 t검증 (모집단의 분산 같을 때)

 

두 독립표본 t검증 (모집단의 분산 같지 않을때)

등분산아닌 독립표본t.xlsx

0.01MB

 

서울대학교 교육통계 강의 자료. 사범대학교 교육학과 박현정교수

성태제(2019). 현대기초통계학 이해와 적용 제 8판. 학지사. pp, 327-360.